Сетевое издание

Международный студенческий научный вестник

ISSN 2409-529X

• Авторы
• Файлы
• Литература

Бабешко Л.О. 1 Дуваа В.А. 1

---

1 Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации

Статья в формате PDF

335 KB

1. Бабешко Л.О. Модели панельных данных: рекуррентный метод оценки параметров // Страховое дело. – 2014. – № 8 (257). – С. 42-50.

2. Бабешко Л.О. Оценка мультипликативной структуры тарифов в рамках модели с фиксированным эффектом // Управление риском. – 2012. – № 4. – С. 26-31.

3. Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. Начальный курс. – М.: Дело, 2007. – 507 с.

4. Эконометрика: учебник / И.И. Елисеева, С.В. Курышева, Т.В. Костеева и др.; под ред. И.И. Елисеевой. – 2-е изд. – М.: Финансы и статистика, 2008. – 576 с.

5. Носко В.П. Эконометрика. Кн. 2. Ч. 3,4: учебник. – М.: Издательский дом «Дело» РАНиГС, 2011. –576 с. (Сер. «Академический учебник»).

Модель со случайным эффектом относится к моделям для панельных данных (ПД). Под панельными данными, в современных эконометрических методах изучения социально-экономических процессов, понимается множество данных, состоящих из наблюдений за однотипными экономическими объектами в течение нескольких временных периодов. Отличительной особенностью панельных данных является то, что они включают как пространственные данные, так и данные временных рядов, и поэтому содержат не только информацию о развитии объектов во времени, но и служат базой для выявления различий между исследуемыми объектами [1], [2]. Основным преимуществом панельных данных является значительное увеличение выборочных данных по сравнению с данными временных рядов и пространственными данными для одного объекта, это обеспечивает большую эффективность оценкам параметров эконометрической модели.

В данной работе рассматриваются методы оценки параметров моделей для панельных данных на примере построения эконометрической модели зависимости величины инвестиций фирмы от её прибыли в рамках модели со случайным эффектом.

Основными регрессионными моделями, применяемыми к панельным данным, являются [3]:

объединённая модель (pooled model), предполагающая, что у экономических единиц нет индивидуальных различий

y_it = μ_i + x_it ∙ β + ε_it , , (1)

модель с фиксированным эффектом (fixed effect model,FE), базирующаяся на «уникальности» экономических единиц (индивидуальные различия между экономическими объектами учитываются в параметрах)

y_it = μ_i + x_it ∙ β + ε_it , , (2)

модель со случайным эффектом (random effect model,RE), учитывающая «случайность» попадания объекта в панель в результате выборки из большой совокупности (индивидуальные различия между экономическими объектами учитываются в случайных возмущениях)

y_it = μ_i + x_it ∙ β + ε_it , , , (3)

y_it = μ_i + x_it ∙ β + ν_it , ν_it = m_i + ε_it .

Спецификации записаны для i-ой панели в момент времени t,

(). Обозначения в моделях (1)-(3) следующие: y_it – зависимая переменная, x_it – вектор-строка регрессоров (размерностью k), ε_it – случайное возмущение: E{ε_it} = 0, Var{ε_it} = σ_ε², μ – параметр местоположения – общий для всех экономических объектов во все моменты времени, μ_i – параметр местоположения – индивидуальный для каждого экономического объекта, β – вектор параметров влияния, m_i – независящая от времени специфическая составляющая ошибки: , ,

Cov{m_i , ε_it} = 0, для ,

Cov{ε_it , x_is} = 0, для ,

Cov{m_i , x_jt} = 0, для ,

E{ν_it} = E{m_i} + E{ε_it} = 0 ,

. (4)

Автоковариационная матрица вектора случайных возмущений не диагональная, в силу (4). Вектор случайных возмущений v – гетероскедастичный, поэтому для оценки параметров модели (3) следует использовать обобщённый метод наименьших квадратов (ОМНК), в частности, выполнимый ОМНК (ВОМНК), так как значения дисперсий и при решении практических задач, как правило, неизвестны, и необходима их оценка по имеющейся эмпирической информации.

Оценка дисперсии может быть получена в рамках внутригруппового оценивания (within group) по переменным , – это центрированные переменные по выборочным средним по времени (,) для каждой панели:

. (5)

Дисперсия специфической составляющей связана с – дисперсией межгруппового оценивания (between estimator)¹ по переменным , , представляющим собой отклонения средних по каждой панели от общих средних (,). Оценка выполняется по формуле:

. (6)

Выражение для автоковариационной матрицы возмущений имеет вид [4]:

. (7)

Матрицы P и M, входящие в формулу (7), идемпотентны, поэтому справедливо следующее соотношение

,

в частности, это используется для вычисления обратной матрицы и для случая :

,

, (8)

где

(9)

– параметр корректировки.

ОМНК-оценки параметров модели со случайными эффектами

, (10)

где – параметры местоположения и влияния (постоянные для всех объектов наблюдения во все моменты времени), вычисляются через оценку матрицы :

. (11)

При реализации алгоритма ОМНК в Excel удобно вычислять оценки параметров обычным МНК, но исходную спецификацию (10) подвергнуть преобразованию, с учётом (8):

, (12)

где

, (13)

. (14)

Легко показать, что МНК-оценка параметров модели (12) по преобразованным данным (13), (14), совпадает с ВОМНК-оценкой (11):

.

При практической реализации данного алгоритма параметр корректировки заменяется его оценкой, которая вычисляется через оценки дисперсий (5) и (6).

Оценим в Excel эконометрическую модель зависимости объёмов инвестиций от прибыли предприятия, используя данные по трём предприятиям (число панелей ) за 10 лет (объём выборки по каждому предприятию T = 10) в рамках модели со случайными эффектами. Данные приводятся в таблице 1 [5].

Таблица 1

Объём инвестиций (Y) и прибыль (X)

Алгоритм процедуры представим в виде последовательности следующих шагов.

Шаг 1. Оценка межгрупповой регрессии.

1. Вычисление средних по времени для каждой панели (каждого предприятия) (при помощи функции СРЗНАЧ, категория «Статистические»)

Таблица 2

Значения индивидуальных средних по выборке

2. По данным столбцов 4 и 5 таблицы 2, используя функцию ЛИНЕЙН (категория «Статистические»), выполняется оценка межгрупповой регрессии:

Таблица 3

Выходная информация функции ЛИНЕЙН

Откуда следует, что .

Шаг 2. Оценка внутригрупповой регрессии.

1. Центрирование ПД по индивидуальным средним. Можно выполнить путём формирования таблицы 4.

Таблица 4

Формирование центрированных данных y^*_it , x^*_it

2. Оценка внутригрупповой регрессии по данным 6 и 7 столбцов таблицы 4. (Функция ЛИНЕЙН, категория «Статистические»).

Таблица 5

Выходная информация функции ЛИНЕЙН

Откуда следует, что .

Шаг 3. Вычисление коэффициента корректировки (по формуле (9)):

.

Шаг 4. Корректировка выборочных данных (по формулам (13) и (14).

Таблица 6

Корректировка данных: y^*_it , x^*_it

Шаг 5. Оценка модели со случайным эффектом по данным 6 и 7 столбцов таблицы 6. (Функция ЛИНЕЙН, категория «Статистические»).

Таблица 7

Выходная информация функции ЛИНЕЙН

МНК-Оценки параметров по данным, преобразованным по правилу

, ,

совпадают с МНК-оценками по данным, преобразованным по формулам (13) и (14), а оценку ско возмущения, приведённую в таблице 7 в третьей строке правого столбца, нужно скорректировать:

.

Таким образом, оцененная по данным таблицы 1 модель со случайным эффектом имеет вид

, , .

Как показывают результаты оценивания, оценки параметров всех трёх моделей (1)-(3), отличаются незначительно. Тестирование характера данных говорят в пользу модели (1) [5].

Библиографическая ссылка