В машиностроении расчету на прочность и жесткость пластин предшествует определение напряженно-деформированного состояния при соответсвующих граничных условиях. Расчету предшествует математическая модель, основанная на гипотезах и методах теории упругости.
Постановка задачи с точки зрения теории упругости. Рассматривается упругое равновесие однородной анизотропной пластинки под действием внешних поверхностных усилий 
, 
и 
. Материал пластинки слабо анизотропен и ортотропен. Через все точки тела проходят три взаимоперпендикулярные плоскости упругой симметрии, относительно которых наблюдается симметрия в упругих свойствах (плоскости ортотропии). Геометрические оси совпадают с осями анизотропии.
Обобщенный закон Гука для ортотропной среды в случае обобщенного плоского напряженного состояния имеет вид [6]:
(1)
где 
и 
модули упругости в направлении оси x и y соответственно, 
и 
– коэффициенты Пуассона ( – коэффициент, характеризующий сокращение в направлении х при растяжении в направлении y, – коэффициент, характеризующий сокращение в направлении y при растяжении в направлении x), причем 
, 
– модуль сдвига в плоскости xy.
Для решения задачи применяется метод малого параметра [9], основанный на представлении искомых функции в виде ряда, расположенного по степеням некоторых малых параметров, что позволяет свести задачу для анизотропной среды к плоской задачи для изотропной среды.
Закон Гука для случая изотропной среды может быть представлен в виде [7]:
(2)
где 
– объемная деформация, 
и 
– параметры Ламе, причем – модуль сдвига в изотропной среде.
Придадим соотношениям (1) для ортотропной среды вид зависимостей (2) для изотропной среды. После преобразований получим:
(3)
; 
; 
; 
,
где 
, 
, 
и 
– параметры, зависящие от упругих свойств материала.
Для построения решения необходимо определить параметры изотропной среды основываясь на известных параметрах ортотропной среды.
Модуль упругости 
примем как среднее значение: 
.
Коэффициент Пуассона 
примем равным таковому в анизотропной среде 
.
Модуль сдвига определится зависимостью [6] 
.
Параметр Ламе 
вычисляем сначала для случая плоской деформации [7] 
, затем для случая обобщенного плоского напряженного состояния [6] 
.
Введем малые параметры 
:
; 
; 
; 
. (4)
Можно убедиться, что при любых значениях технических постоянных, параметры 
и 
равны, поэтому примем 
и варьировать будем три параметра.
Окончательно закон Гука (3) для слабо анизотропной среды можно рассматривать с учетом (4) как «возмущение» изотропной среды.
;
; (5)
.
; 
.
При 
линейная изотропия.
Для кратности здесь и далее обозначим:
1) 
;
2) в записи 
верхний составной индекс идентифицирует элемент в асимптотическом разложении
,
а не степень.
Асимптотические ряды:
;
; (6)
;
.
Такое представление унифицирует все индексы в 
, поэтому все слагаемые можно определить внутри единой суммы и, далее, каждую скобку внутри приравнять нулю (декомпозиция).
Декомпозиция определяющих соотношений:
1. Закон Гука:
;
; (7)
.
2. Соотношения Коши:
. (8)
3. Уравнения равновесия:
, (9)
где 
– массовые силы.
Нахождение частного решения от произвольно заданных массовых сил представляет некоторую трудность, однако в случае многочленов принципиальных трудностей нет.
Система уравнений (7), (8) и (9) по форме отвечает всем соотношения изотропной теории упругости. На каждом шаге 
решается традиционная задача теории упругости для изотропного тела, причем всегда при одном и том же наборе параметров упругости 
.
Таким образом, для решения слабо анизотропной задачи во втором приближении необходимо решить 8 задач о распределении напряжений в изотропной пластинке той же формы.
Заданные граничные условия (включая массовые силы) сразу учитываются в нулевом приближении; затем поправки в граничных условиях от 
вычитаются из «нулевых» граничных условий. Необходимо вносить поправки в механические поля и от «фиктивных» массовых сил 
. Например, граничные условия на позиции 
, а на позиции 
.
Полученные поля напряжений 
, деформаций 
и перемещений 
суммируются согласно (7).
В работе [4] рассматривалось равновесие круговой пластинки под действием усилий распределенных по боковой поверхности вызывающие однородное напряженное состояние. В работе [5] исследовалось равновесие призматического тела под действием усилий распределенных по торцам.
Решение задачи. Рассматривается прямоугольная пластинка (рис. 1) из поликристаллического алюминия [1] 
МПа; 
МПа; 
МПа; 
.
Рис. 1. Ортотропная плпстинка
Граничные условия:
;
;
;
.
Массовые силы отсутствуют, 
. Геометрическая и физическая стороны задачи рассматриваются в обезразмеренном виде с размерным коэффициентом 
Па.
Решение задачи в целом, проводится с помощью метода малого параметра по методике, описанной выше, а изотропная задача теории упругости для пластинки на каждом приближении решается методом граничных состояний (МГС) [8].
Параметры изотропной среды:
, 
, 
, 
.
Согласно (3), (4) и (5) малые параметры:
, 
, 
.
Полученные в результате решения во втором приближении компоненты вектора перемещения слишком громоздки для полной обозримости, поэтому представим лишь их структуру (высшие степени и произведения малых параметров, начиная с 3-го порядка, отброшены):
;
.
Для получения окончательных выражений, содержащих технические константы необходимо из (5) выразить малые параметры, подставить их в полученные выражения и провести обратную параметризацию.
Таким образом, мы получили механические характеристики как функции координат и малых параметров. Изменяя последние в определенных пределах, мы имеем возможность получать механические поля, не проводя каждый раз заново решение анизотропной задачи, что порой при сложных граничных условиях и геометрии тела, составляет непростую задачу, особенно если они имеют технологические отверстия [2], [3].
Библиографическая ссылка
Иванычев Д.А. ЗАДАЧА СТАТИКИ СЛАБО АНИЗОТРОПНЫХ ПЛАСТИНОК С НЕОДНОРОДНЫМИ ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ // Международный студенческий научный вестник. – 2018. – № 2. ;URL: https://eduherald.ru/ru/article/view?id=18345 (дата обращения: 25.04.2024).