Согласно проведенным исследованиям в настоящее время очень актуальным является изучение взаимодействия α-частиц и нуклонов с ядром для разнообразных приложений, в частности для проблемы управляемого термоядерного синтеза и в атомной технике. В работе описано исследование мультикластерной (2α+n)-модели ядра с вычислением его статистических характеристик.

Трехчастичная (2α+n)-модель ядра

Для описания ядра используется трехчастичная модель 2α+n (см.рис.1) с тремя парными αn и αα – взаимодействиями, включающими состояния, запрещенные принципом Паули.

Волновая функция ядра

Базисная волновая функция относительно координат Якоби (см.рис.1) [1]:

(1)

где , – коэффициенты Клебша-Гордана;

– сферические функции относительных координат;

– спиновая функция системы;

λ, l – относительные орбитальные моменты ( в координатах Якоби);

– радиальная часть волновой функции ( Гауссоида).

(2)

Формула (2) выражает угловую часть волновой функции (1).

Волновая функция допускает чисто алгебраическую пересвязку к другому набору координат Якоби. В частности, преобразование радиально-угловой части базисной волновой функции (1) от набора 1 к набору 2 (см.рис.1) имеет вид:

(3)

где алгебраический коэффициент определяется по формуле:

Рис.1. Выбор наборов внутренних координат Якоби.

Статистические характеристики

В данном параграфе мы покажем выводы статических характеристик основного состояния для ядра 9Be в трехтельной модели, для чего сначала выразим все операторы, записанные в одночастичных координатах, через относительные координаты, – координаты Якоби.

Среднеквадратичный зарядовый радиус

Среднеквадратичный зарядовый радиус определяется следующим выражением [2]:

(4)

Здесь Ze- заряд ядра. Одночастичная зарядовая плотность имеет следующий вид:

Для вычисления в – модели нужно перейти от одночастичных координат к новым:

(5)

где для и для . координаты центра масс частицы относительно всего ядра, – координаты k-го нуклона частицы относительно ее центра масс. Координаты центра масс частиц выражаются через координаты:

После несложных вычислений для получим

(6)

где матричные элементы для и могут быть легко найдены:

Здесь использованы следующие обозначения для радиальных интегралов:

Магнитный момент

Оператор магнитного момента системы состоящей из трех частиц, имеет вид [2]:

,

где – ядерный магнетон Бора, – оператор внутреннего магнитного момента -й частицы, – оператор орбитального момента -й частицы массой - масса нуклона. Перейдем от моментов к моментам и :

(7)

Перепишем выражение (7) для в другом виде, для простоты опустим знак оператора :

Магнитным моментом ядра называется величина :

.

При расчете магнитного момента воспользуемся следующей формулой:

,

а также .

Учтя это, мы получим , где

(8)

Член можно представить через веса компонент :

,

где – число учитываемых конфигураций. А второй член выражении для магнитного момента равен:

×

×

Квадрупольный момент

Квадрупольный момент ядра определяется следующем выражением[2]:

, (9)

где – пространственная сферическая гармоника. Снова переходя от одночастичных координат к новым, согласно соотношению и используя следующую формулу (10):

,

получаем:

(11)

В формуле (11) для приведенного матричного элемента использованы стандартные обозначения.

Октупольный момент

Октупольный момент ядра называется величина [2]:

(12)

где оператор октупольного момента – состоит из двух частей:

Спиновая часть оператора октупольного момента

Здесь – пространственная сферическая гармоника, ядерный магнетон Бора. Спиновое гиромагнитное соотношение равно:

Орбитальная часть оператора октупольного момента:

Матричный элемент от спиновой части равен:

Орбитальную часть матричного элемента от оператора преобразуем к виду

Волновая функция (1) допускает чисто алгебраическую пересвязку к другому набору координат Якоби, что мы и используем при расчете матричного элемента от орбитальной части оператора октупольного момента. При преобразовании функции от набора координат 1 к набору 2 (см.рис.1), где двумерная гауссоида преобразуется:

Аналогичным образом преобразуется гауссоида

.

Для того чтобы исключить перекрестный член в экспоненте, совершаем еще одно преобразование координат Якоби. В результате этого преобразования получаем:

Учитывая формулы для матричного элемента от орбитальной части оператора, получаем:

,

где радиальные интегралы и равны:

.