Рассмотрим задачу Коши

Дифференциальное уравнение не относится к известному типу дифференциальных уравнений I порядка. Решим уравнение двумя способами:

1) с помощью рядов;

2) графический (методом изоклин).

Считаем, что решение допускает разложение в ряд Маклóрена

.

Определим первые шесть слагаемых. Вычислим коэффициенты:

0,016;

Таким образом, получили приближённое решение

.

Построим кривую, соответствующую найденному решению при x = {–5; –4; –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3; 4; 5}. Для этого используем систему компьютерной математики MathCAD (рис. 1).

Рис. 1

Теперь решим это же уравнение графически. Построим поле направлений дифференциального уравнения, изображая изоклины: , (c ≥ 0).

Изоклины – семейство окружностей с центром (0;0) и радиусом .

1) c=0: – уравнение определяет точку (0;0) в которой tgα=0, значит α=0;

2) c=1:, вдоль этой изоклины отрезки поля имеют угловой коэффициент tg(α)=1, т.е. α=arctg(1) α = π/4;

3) c=4: , tgα=4, α=arctg(4)≈76°;

4) c=9: , tgα=9, α=arctg(9)≈84°;

5) c=16: 16, tgα=16, α=arctg(16)≈86°;

6) c=25: , tgα=25, α=arctg(25)≈88°.

Используя найденные значения, построим изоклины и поле направлений (рис. 2). Далее можно провести приближённое графическое решение.

Рис. 2

Сопоставив два приближённых решения, приходим к выводу, что они графически совпадают.