Уравнение, носящее имя нашего соотечественника Е. Слуцкого, известно в науке начиная с первой половины XX в. Оно состоит в том, что изменение спроса на некоторый товар при повышении или снижении его цены складывается из влияния непосредственного изменения спроса и косвенного влияния в результате переключения спроса на другие товары при условии неизменности уровня благосостояния. Данное уравнение показывает, что изменение в спросе на i-й товар при изменении цены j-го товара является результатом двух эффектов: эффекта замещения и эффекта дохода. Эффект замещения иногда называют изменением компенсированного спроса [1]. Идея состоит в том, что потребителю компенсируют повышение цены таким увеличением его дохода, которое позволяет ему купить старый потребительский набор. Разумеется, если цена снижается, то «компенсация» заключается в том, что у него отбирают часть денежного дохода [2].

Уравнение Слуцкого описывает поведение точки спроса при компенсации, когда изменения вектора цен и размера бюджета (дохода) q согласованы таким образом, что значение функции полезности (далее ФП) остается постоянным. В точке спроса выполняются стандартные условия достижения максимума ФП [3]

(1)

где l – множитель Ланграджа, в данном случае натуральная предельная стоимость денег.

Точка спроса есть однородная функция нулевого порядка, и, следовательно, она подчиняется уравнению Эйлера [4]:

(2)

Так как по условию u=const, то

А следовательно, согласно первому уравнению системы (1):

(3)

Изменение точки спроса при компенсации (compensation):

где согласно (3) приращение дохода равно:

(4)

т.е.

Откуда следует классический вид уравнения Слуцкого [10]:

(5)

( – столбец; – строка).

Для дальнейшего исследования целесообразно ввести диагональные матрицы P и X:

Они позволяют находить матрицу эластичности спроса e и вектор эластичности спроса :

;

. (6)

Непосредственно из уравнений (6) следует [11]:

(7)

Умножив обе части уравнения (5) на X–1 слева и на P справа, получим уравнение Слуцкого, выраженное в терминах эластичности [6]:

(8)

где e, εc – соответственно матрицы эластичности без компенсации и при ее наличии; – вектор расходов.

Введем вектор распределения относительных расходов:

Тогда уравнение Слуцкого (8) можно записать максимально простым образом [7]

(9)

Введем векторы относительных изменений спроса:

Аналогично запишем вектор относительных изменений цен

При малых величинах этих двух векторов с достаточной точностью можно считать, что они линейно зависят друг от друга

(10)

Теперь предположим, что ФП – однородная функция порядка a.

Известно, что в этом случае выполняется равенство:

Поэтому уравнение Слуцкого (5) в случае произвольной однородной ФП приобретает вид [8]

(11)

Умножив каждую сторону уравнения (11) на X–1 слева и на P справа, получим соответствующее уравнение для эластичностей:

(12)

Рассмотрим частный случай, когда однородная ФП является функцией Кобба-Дугласа. Тогда, как рассмотрено выше, спрос оказывается равным:

отсюда

(13)

где – вектор степеней.

Далее: (E единичная матрица) – эластичность без компенсации.

Отсюда следует выражение для эластичности при наличии компенсации

(14)

Рассмотрим пример с тремя видами товара.

Задается вектор функции Кобба-Дугласа. Задается вектор относительных изменений цен (в процентах).

Требуется найти вектор относительных изменений вектора потребления при компенсации (в процентах).

Пусть, например, векторы и равны:

Матрица эластичности спроса при компенсации в общем случае равна:

где

В данном примере сумма степеней

–

матрица эластичности.

Отсюда в соответствии с равенством (10) получаем вектор относительных изменений вектора потребления:

Можно видеть, что спрос на первый и второй виды товара возрос соответственно на 17,5 и на 2,5 %, а спрос на третий вид товара снизился на 7,5 %.

Нетрудно заметить, что равенство (10) позволяет решать и обратную задачу: задавшись желаемым относительным изменением спроса, определить, каким образом для этого необходимо изменить цены:

Таким образом, построена модель, в рамках которой определяется относительное изменение вектора спроса при компенсации. Одновременно решается и обратная задача на определение компенсированных изменений цен.

Показывается, что привлечение понятия эластичности спроса упрощает запись уравнения Слуцкого и его решение. Доказывается, что знание матрицы эластичности и вектора относительных расходов достаточно для определения реакции спроса для любых сравнительно небольших компенсированных изменений цен. Разумеется, если имеется информация о функции полезности потребителя, то упомянутые матрица эластичности ec и распределение расходов в принципе теоретически всегда можно вычислить.