Первое упоминание о так называемых «мнимых» числах как о квадратных корнях из отрицательных чисел появилось ещё в XVI в. В 1545 г. итальянским учёным Д. Кардано (1501-1576) была проделана работа, в которой, пробуя решить уравнение , он получил . Через данное выражение представились действительные корни уравнения: ,
. Заслуга Джироламо Кардано заключалась в предположении существования «несуществующего числа» , вследствие чего он ввёл правило умножения:  [4].

Комплексные числа (КЧ) – это курс математики, наиболее удобный и подходящий для подготовки профессионального направления бакалавра по таким направлениям как: Информатика и вычислительная техника. Так же при изучение комплексных чисел важно учесть применение знаний математики в специальных, общетехнических дисциплинах, в частности в электротехнике [5]. Использование комплексных чисел даёт возможность применять формулы, законы и методы расчётов, применяющиеся в цепях переменного и постоянного токов, упростить некоторые вычисления, путём замены графического решения алгебраическим и рассчитать сложные электрические цепи, а так же упростить решения по расчётам цепей переменного и электрического токов [11, 13].

Для того, чтобы студент мог проводить математические операции с КЧ, он должен уметь: 1) находить модуль а аргумент комплексного числа и, наоборот, комплексное число по его аргументу и модулю; 2) переводить комплексное число из одной формы в другую; 3) производить умножение и деление, сложение и вычитание комплексных чисел [10].

Кроме этого, довольно важную роль занимает умение построения кривой и вектора по уравнению синусоиды, вектора по КЧ, определения КЧ по уравнению и вектору и уравнения по комплексному числу [6].

В теме «Переменный ток» занимает очень важное место в электротехнике, так как большая часть электротехнических установок работает на переменном токе, который в свою очередьизменяется по синусоидальному закону.

– уравнение переменного напряжения, где u – мгновенное значение напряжения; UM – макс. значение (амплитуда) напряжения; w – угловая частота; t – время; φ – начальный фазовый угол; wt = α – электрический угол. Данное уравнение объединяет (связывает) две переменные величины: напряжение u и время t. Напряжение изменяется синусоидально с течением времени [1].

Подобный вид имеют уравнения тока и Э.Д.С.:

;

.

Для того чтобы произвести расчёт цепей переменного тока используют синусоидально изменяющимися параметрами, т.е. выполнять сложение, вычитание, умножение и деление, приведённого выше типа уравнений .

Складывать синусоидальные величины довольно сложно, особенно при сложении большого числа уравнений [9, 12].

Переменная синусоидальная величина имеет следующие свойства:

1. Переменную синусоидальную величину можно представить определённо вектором. Длина этого вектора будет равна величине амплитуды, а угол наклона – начальномуфазовому углу соответственно.

2. Сложение и вычитание данных величин дозволено заменить сложением и вычитаем векторов.

Помимо сложения и вычитания синусоидальных величин требуется умножать и делить. Именно здесь нам помогают комплексные числа.

На плоскости комплексное число принято изображать в виде вектора, длина которого будет равна модулю данного числа, а угол наклона – его аргументу. В сравнении с математикой в электротехнике мнимое число принято обозначать буквой j. Если дано некоторое КЧ , то его можно представить в виде вектора, где его модуль будет равен , а его аргумент соответственно –  [2, 14].

Комплексное число обладает тремя формами:  – алгебраической;  – показательной;  – тригонометрической.

Комплексное число определённо представлено вектором, а определённому вектору соответствует определённое комплексное число [8].

Стало быть, что переменную синусоидальную величину мы можем представить комплексным числом, если:

а) переменную синусоидальную величину возможно представить вектором;

б) данному вектору соответствует конкретное комплексное число.

Комплексными числами можно выражать следующие величины: ток, напряжение, мощность, проводимость и сопротивление [3].

Напряжение и ток

Дано уравнение напряжения – . В электротехнике принято брать за длину вектора действующее значение, а не максимальное. Она находится (вычисляется) как частное максимального значения UM и , и обозначается буквой U без индекса:

;

Комплексом  – называется синусоидальная величина, которая выражена комплексным числом.

Комплекс напряжения, как и комплексное число можно записать в трёх формах:

а)  – алгебраической;

б)  – показательной;

в)  – тригонометрической.

Следовательно, в комплексе напряжения модуль равен действующему значению, аргумент – начальному фазовому углу, реактивная – мнимой части, активная составляющая – вещественной части комплекса напряжения [7, 15].

Аналогичные формы для тока:

;

;

;

;

.

Итак, комплексны числа (КЧ), как уже вначале говорилось, – это курс математики наиболее удобный для изучения такой дисциплины, как электротехника. Именно комплексные числа позволяют применять законы и формулы в цепях постоянного и переменного токов, упрощают различного вида вычисления и помогают рассчитывать сложные электрические цепи.