Рассмотрим нелинейную задачу для дифференциального уравнения первого порядка, не разрешенного относительно производной

(1)

где функции и предполагается, что функция непрерывна, функция удовлетворяет условию Каратеодори.

Пусть – пространство суммируемых в степени на отрезке функций, – пространство измеримых ограниченных в существенном на отрезке функций, - пространство непрерывных на отрезке функций, - пространство абсолютно непрерывных на отрезке функций с нормой: . Под решением понимается такой элемент пространства , который почти всюду на отрезке удовлетворяет уравнению и начальному условию задачи (1).

В работе доказывается существование решения задачи (1) в шаре радиуса с центром в точке пространства . С помощью метода явной линеаризации задача (1) сводится к квазилинейной задаче с обратимым линейным оператором. В последующем, полученная задача заменяется эквивалентным ей операторным уравнением, к которому применяется теорема типа Лере-Шаудера [10]. При этом решение задачи (1) ищется в предположении, что существует функция , удовлетворяющая условию: для каждого фиксированного на искомом шаре с центром в точке пространства выполняется неравенство

.

Случай задачи (1) с периодическим краевым условием рассматривался ранее в работе [6].

Некоторые математические модели реальных процессов приводят к задачам для обыкновенных дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно старшей производной и, в частности, к задаче (1). Обычно при исследовании нелинейных задач, в том числе и задачи (1), используется явная или неявная линеаризация. В частности, в работах [3,5,8] используется редукция нелинейной задачи к некоторой вспомогательной квазилинейной, к которой применяются известные схемы исследования на разрешимость квазилинейных или резонансных краевых задач. К числу методов, использующих неявную линеаризацию нелинейных задач можно отнести метод Ньютона-Канторовича, метод применения теорем о неявной функции, методы теории нелинейных фредгольмовых операторов. В этом случае нелинейный оператор аппроксимируется своей производной [1,2,4].

Обозначим через , при этом будем предполагать, что функции на отрезке . Существование такой функции позволяет задачу (1) переписать в виде

(2)

Обозначим через и пространства и соответственно. Задачу (2) в пространстве запишем в виде операторного уравнения

,

где операторы , определены равенствами

, ,

.

Так как оператор является обратимым на пространстве , то краевая задача (2) эквивалентна интегральному уравнению

. (3)

Соответствующее операторное уравнение тогда запишется в виде

,

где, - обратный к оператор.

Ниже под и понимается замкнутый шар и сфера радиусов с центрами в нуле.

Для нахождения условий существования решения уравнения (3) воспользуемся теоремой типа Лере – Шаудера [10] из книги [9, стр.406]:

Теорема 1. Пусть оператор действует из шара в и вполне непрерывен. Если для всех с , то оператор имеет в неподвижную точку.

Для доказательства полной непрерывности произведения рассмотрим расширение оператора на пространство , то есть будем считать, что оператор действует из пространства в . Тогда оператор вполне непрерывен, а, следовательно, произведение также вполне непрерывно. Не трудно показать, что .

Докажем существование решения уравнения на пространстве , содержащегося в пространстве . Тогда, вследствие непрерывности оператора , правая часть данного уравнения принадлежит и, следовательно, само решение также принадлежит . Это доказывает существование решения исходной задачи (1) в пространстве . Подобный подход использовался в работе [7].

Для нахождения эффективных условий разрешимости, ценим оператор в уравнении (3):

(где , ).

Так как , где , то условие Теоремы 1: для всех с , примет вид

.

Из данного неравенства находим радиус шара , на котором существует решение уравнения (3):

.

Откуда следует, что если , то на сфере радиуса выполнены условия теоремы 1.

Таким образом, доказано утверждение о существовании решения краевой задачи (1):

Теорема 2. Пусть функция непрерывна, функция удовлетворяет условию Каратеодори и существует функция (), удовлетворяющая условию:

для каждого фиксированного выполняется неравенство

.

Тогда если выполнены условия

1);

2) ,

где , , ,

то существует решение задачи (1) на шаре с радиусом .