Числовой последовательностью называется такое множество чисел действительных и комплексных, для которых задано взаимно однозначное соответствие со множеством натуральных чисел [4,9].

Примеры и обозначения. Множество чисел: 1,4–5,3,5… можно рассматривать как числовую последовательность, если пронумеровать элементы этого множества, например

Все множество обозначается:

.

В рассмотренном выше примере множество – просто набор цифр «с потолка». В математическом анализе, как правило, работают с такими последовательностями, в которых можно задать общий член последовательности, т.е. закон, по которому, зная номер элемента, можно вычислить сам элемент [5,10].

Рассмотрим пример. Пусть известны первые несколько членов последовательности

Выяснить вид общего члена этой последовательности.

Решение. Проведем анализ имеющихся элементов:

а) элементы представляют собой дробь, т.е. общий вид будет

;

б) в числителе всех элементов стоит 1, т.е. общий вид будет

;

в) знаки чередуются начиная с «+», т.е. общий вид будет

;

г) в знаменателях стоят степени двойки, начиная с первой, т.е. общий вид будет

.

Для точности результата сделаем проверку. Вычислим третий элемент последовательности

.

Вывод. Общий вид элементов последовательности:

,

где .

Элементы числовой последовательности действительных чисел удобно изображать на числовой прямой, при этом они могут быть расположены на ней хаотично (не подчинено никакому закону или правилу) или упорядоченно [1, 7].

Они могут стремиться к какому-то числу. Т.е. с возрастанием номера элемент становится все ближе и ближе к какому-то числу.

Определение. Число А называется пределом числовой последовательности если для любого числа существует такой номер N, зависящий от , что, начиная с этого номера все элементы последовательности удалены от А не более чем на ε (принадлежат ε-окрестности числа А). И обозначается [2, 6].

Замечание. В математике общепринятыми считаются обозначения:

1) , заменяет словосочетание «для любого».

2) , заменяет слово «существует».

Пример. Доказать, что пределом последовательности

при стремлении n к бесконечности является

.

Доказательство. Доказать, что число является пределом последовательности, что означает указать закон, по которому, выбрав произвольное ε, можно найти номер, начиная с которого элементы последовательности в ε окрестности этого числа.

Итак, требуется выполнение неравенства

.

Подставим выражение для общего члена последовательности и значение предела из условия этой задачи

Т.к. (т.е. положительное), то можно раскрыть модуль

.

Выразим n из полученного неравенства:

Cледующее мы приравняем

.

Полученное выражение и есть искомый закон, по которому, выбрав произвольное ε, можно найти номер, начиная с которого элементы последовательности будут лежать в ε-окрестности этого числа [3].

Теперь подробнее:

а) выбираем произвольное ε.

б) подставляем его в выражение

и находим значение N.

в) для любого будет верно неравенство

потому, что правая часть неравенства

и есть значение, которому присвоено N.

г) а неравенство равносильно неравенству

(это оно же, только преобразованное), т.е. для любого числа ε можно указать такой номер N, что, начиная с этого номера, все элементы последовательности удалены от 1 не более чем на ε, а значит 1 является пределом последовательности [8].

Пример. Известно, что

.

Требуется найти N для

.

Решение. В предыдущем примере была найдена функциональная зависимость между N и ε:

а) ,

,

т.е., начиная с 10-го номера все элементы последовательности отстоят от 1 не более, чем на 0,1.

Tо есть начиная с 100-го номера все элементы последовательности отстоят от 1 не более, чем на 0,01.

в)

,

т.е., начиная с 1000-го номера все элементы последовательности отстоят от 1 не более, чем на 0,001.

Вывод: при проведении анализа элементов последовательности мы выяснили общий вид элементов последовательности, и доказали, что для любого числа ε можно указать такой номер N , что, начиная с этого номера, все элементы последовательности удалены от 1 не более чем на ε, а значит, 1 является пределом последовательности.