Большинство задач по физике приводят к необходимости решения дифференциальных уравнений. Это можно объяснить тем, что многие физические законы являются дифференциальными уравнениями, относительно некоторых функций, которые характеризуют эти процессы. Физические законы представляют собой теоретическое обобщение многих экспериментов и описывают эволюцию искомых величин, как в пространстве, ток и во времени. К примеру второй закон Ньютона является дифференциальным уравнением второго порядка [3, 6]:

.

Учитывая огромную важность дифференциальных уравнений в общей и теоретической физики, рассмотрим основные понятия и приёмы интегрирования некоторых видов, которые часто встречаются в задачах.

Дифференциальное уравнение – это уравнение, которое помимо независимых переменных и неизвестных функции данных переменных, содержит ещё и производные неизвестных функции [1, 4].

Наивысший порядок производных неизвестной функции, входящих в дифференциальное уравнение называется порядком дифференциального уравнения.

Дифференциальным уравнением 1-го порядка называется уравнение, которое связывает независимую переменную, искомую функцию и её производную 1-го порядка [2].

Для составления дифференциальных уравнении часто применяют эти способы:

1) Записать условие на производную искомой величины, используя известные законы физики и физический смысл производной;

2) Определить, какая их величин будет независимой переменной, а какая зависимой;

3) Затем находят линейное приближение для приращения Dy, когда независимая величина переменная получила приращение Dx;

4) Разделив Dy на Dx и переходя к пределу при , получают дифференциальное уравнение.

Рассмотрим конкретный пример применения дифференциального уравнения 1–го порядка:

Чаша в форме параболоида вращения в начальный момент заполнена водой. В самой нижней части чаши имеется отверстие радиуса r1, через которое вытекает вода. Найти зависимость уровня воды в чаше от времени, если известно, что высота чаши H, радиус верхнего края R. За какой промежуток времени t из чаши вытечет вся вода?

Решение.

Зависимость между уровнемhводы и в чаше и радиусом r горизонтальной поверхности воды имеет вид

.

Пусть за промежуток времени уровень воды изменится на Dh, тогда изменение объёма воды в чаше

. (1)

С другой стороны, это изменение равно

, (2)

где – скорость истечения воды из отверстия.

Приравнивая уравнения (1) и (2) и переходя к пределу при , получим дифференциальное уравнение

. (3)

После разделения переменных в 3 и интегрирования, имеем:

. (4)

Найдём константу С из начальных условий. Так как , то

,

поэтому уравнение 4 будет иметь вид

. (5)

Выражая h из формулы 5, получим искомую зависимость:

.

Поскольку , то из 5 найдём время, за которое вытечет вся вода:

.

Дифференциальное уравнение 2–го порядка – это уравнение, в которое входят независимая переменная, неизвестная функция, первая и вторая производные этой функции.

Рассмотрим пример задачи, который приводит к решению линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка.

Тело массы 5 кг подвешено к концу пружины жёсткости 20 Н/м и помещено в вязкую среду. Период его колебаний в этом случае равен 10 с. Найти постоянную демпфирования, логарифмический декремент колебаний и период свободных колебаний [5].

Решение. Выберем начало координат в положении статического равновесия тела и расставим силы, действующие на тело в процессе колебаний. Если АВ обозначает длину не растянутой пружины, то отрезок ОВ представляет статическое удлинение пружины под действием силы тяжести.

По закону Гука

.

Записываем второй закон Ньютона:

.

Проектируем это равенство на ось ОХ, учитывая, что

.

В результате получим уравнение колебаний

или , (1)

где ; .

Уравнение (1) – это дифференциальное уравнение второго порядка.

Составляем характеристическое уравнение:

. (2)

Вычисляем дискриминант уравнения (2):

. (3)

Поскольку в данном случае движение тела носит колебательный характер, то его координата должна изменяться по гармоническому закону.

(4)

В случае отсутствия затухания, , и тело совершает свободные колебания с периодом

.

Выражаем отсюда

,

и определяем постоянную деформирования a:

.

Подставляя данный задачи, получим ответ

a=19 (Н•с)/м.

Логарифмический декремент затухания есть натуральный логарифм отношения двух последовательных амплитуд,

.

Вычисляя n и подставляя значение T, получим

.