Основными уравнениями математической физики для случая, когда искомая функция u зависит от двух независимых переменных, являются следующие дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка.

I. Волновое уравнение

.

Это уравнение является простейшим уравнением с частными производными второго порядка гиперболического типа. К решению такого уравнения сводятся задачи о поперечных колебаниях струны и продольных колебаниях стержней, о звуковых и электромагнитных колебаниях, о колебаниях газа и т.д.

II. Волновое уравнение

.

Это уравнение является простейшим уравнением параболического типа. К решению такого уравнения сводятся задачи о распространении тепла в однородной среде, о фильтрации жидкостей и газов, некоторые вопросы теории вероятностей и т.д.

III. Уравнение Лапласа

,

представляющее простейшее уравнение эллиптического типа. К решению этого уравнения сводятся задачи о свойствах стационарных электрических и магнитных полей, о стационарном распределении тепла в однородном теле, задачи гидродинамики, диффузии и т.д.

Замечание 1. В общем при постановке задачи исследования следует учитывать, что физическое явление может носить одномерный, двухмерный и трёхмерный характер, а также быть стационарным (не меняющимся во времени).

Двухмерное волновое уравнение имеет вид:

которое описывает колебания мембраны и поверхности несжимаемой жидкости.

В конкретных задачах, сводящихся к уравнениям математической физики, всегда ищется не общее, а частное решение уравнения, удовлетворяющее некоторым дополнительным определённым условиям, вытекающим из физических соображений и особенностей данной задачи.

Такими дополнительными условиями являются:

а) начальные условия, относящиеся обычно к начальному моменту времени (), с которого начинается изучение данного явления;

б) граничные условия, то есть условия, заданные на границе рассматриваемой среды (области), внутри которой находится решение составленного ими данного дифференциального уравнения.

Совокупность начальных и граничных условий называется краевыми условиями.

Задача, состоящая в нахождении частного решения уравнений при начальных условиях называется задачей Коши.

Задача математической физики, в которой учитываются как начальные, так и граничные условия, называется смешанной задачей (задачей Коши общего вида).

Для решения уравнений математической физики обычно применяются:

а) метод Даламбера (метод характеристик),

б) метод Фурье (метод разделения переменных).

Рассмотрим квазилинейное дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка:

. (1)

Для получения общего решения уравнения (1) рассматривают характеристическую систему обыкновенных дифференциальных уравнений [3]:

(2)

Если с=0, то система сводится к одному уравнению

.

Если общий интеграл уравнения, тогда

– общее решение.

Само дифференциальное уравнение содержит в себе только самую общую информацию об описываемом процессе. Необходимо задание начальных и граничных условий, для конкретизации.

Дифференциальные уравнения математической физики второго порядка. Большое количество процессов и явлений в физике описывается с помощью дифференциальных уравнений второго порядка в частных производных, это связано с тем, что фундаментальные законы физики – законы сохранения – записываются в терминах вторых производных [2, 5].

Рассмотрим линейное уравнение с частными производными второго порядка с двумя независимыми переменными:

(3)

где a, b, c – это некоторые функции от x, y, которые имеют непрерывные производные до второго порядка включительно.

Для того чтобы привести уравнение (3) к каноническому виду, необходимо записать так называемое характеристическое уравнение (4):

(4)

из которого выходят два уравнения:

;

и найти их общие интегралы.

В общем случае линейное уравнение с частными производными второго порядка параболического типа с n независимых переменных можно записать в виде:

,

где

Уравнения параболического типа описывают неустановившиеся диффузионные, тепловые процессы, зависящие от времени [1, 6].

Методы решения уравнений математической физики

Все методы решения этих уравнений можно разделить на две группы:

1. Аналитические методы решения уравнений, которые основаны на сведении

2. Уравнения в частных производных к обыкновенному или системе обыкновенных уравнений;

3. Численные методы решения (с помощью ЭВМ).

Пример: Найдите функцию w=w(x,t), как решение уравнения , где a>0, а=const, при начальном условии

.

Решение – это уравнение (уравнение переноса) в частных производных:

. (1.1)

Характеристическое уравнение для (1.1) имеет вид

(1.2)

,

где C – произвольная постоянная. Общее решение уравнения (1.1), имеет вид бегущей волны:

. (1.3)

Из (1.3) видно, что а – скорость переноса. Так как a >0, то волна бежит слева направо. Подставим начальное условие, получим:

. (1.4)

Получаем:

.

Ответ: Функция , является решением уравнения переноса при заданном начальном условии.