Основной смысл использования метода, основанного на использовании таблицы преобразований Лапласа для расчета переходных процессов заключается в том, что f(t) некоторой вещественной переменной t ставится в соответствие функция F(p) комплексной переменной. В итоге имеем, что производные и интегралы от вещественной функции заменяют математическими функциями. В ходе расчета данных уравнений мы находим изображения, а затем, путем обратного преобразования, – оригиналы. Главным этапом практического применения является необходимость определения только независимых начальных условий, что заметно упрощает расчет переходных процессов в электрических цепях высокого порядка по сравнению с классическим методом [2, 3].

В данной статье мы рассмотрим способ применения преобразований Лапласа для расчета переходных процессов в RC-цепочке.

Для расчетов используется схема (рисунок), имеющая источник ЭДС ε, ключ K, резистор R и последовательно включенный конденсатор C. В исходном состоянии цепь разомкнута, ток отсутствует [4, 6].

RC-цепь для расчета переходных процессов

Рассмотрим переходный процесс, который возникает, когда ключ K замыкается.

Предположим, что . Появляется ток, конденсатор начинает заряжаться. В любой производный момент времени мы можем записать уравнение по правилу Кирхгофа [5, 6].

Получаем:

.

Для расчета воспользуемся таблицей преобразования Лапласа.

Таблица преобразований Лапласа

Вспомним основное уравнение для конденсатора:

где C – емкость конденсатора, Q – заряд, который образуется в следствии протекания тока через конденсатор.

После преобразования (таблица) уравнение можно записать в следующем виде:

.

Таким образом, мы приводим уравнение к дифференциальному виду. Окончательно получаем:

.

Данное уравнение необходимо решить. Для этого мы вновь воспользуемся таблицей преобразований (таблица) к обоим частям уравнения.

.

Таким образом, преобразование Лапласа позволяет нам исключить время и найти образ I(p) , после чего, используя таблицу, привести уравнение к явному виду [1].

Упростим выражение, разделив обе части уравнения на общий знаменатель. Получим:

.

Отсюда находим образ тока:

где – постоянная времени

Чтобы прийти к каноническому виду разделим и умножим знаменатель на τ. Получим:

.

В итоге получаем:

.

Осталось найти напряжение на емкости, которое всегда равно:

или

.

Для решения данного уравнения мы не использовали ничего, кроме таблицы преобразований Лапласа.

Рассмотрим еще одну показательную задачу электротехники, решаемую с помощью операционного исчисления.

Найти закон изменения тока i(t) при включении постоянной э.д.с. E0 в последовательный колебательный контур с параметрами R, L и С при условии .

По закону Кирхгофа для мгновенных значений запишем

где

После подстановки получим дифференциально-интегральное уравнение

Обозначим изображение функции-оригинала через I(p), то есть

.

Тогда по правилу дифференцирования оригинала и правилу нахождения изображения интеграла от данной функции-оригинала находим

и ,

а .

Подставив найденные изображения, получим операторное уравнение

Решая это алгебраическое уравнение относительно изображения I(p), имеем

или .

Обозначим

Тогда, выделяя полный квадрат в знаменателе, получим

По таблице с учетом свойства линейности восстановим оригинал

.

Вывод. В реальном колебательном контуре существуют свободные колебания тока, которые носят затухающий характер ( – коэффициент затухания).