Актуальность выбранной темы обусловлена тем, что использование методов оптимизации, в том числе и линейного программирования, позволяет с максимальной выгодой и минимальными расходами решить задачу о производстве определенной продукции, найти более выгодный вариант, составить наиболее оптимальный план, а также сбалансированный режим работы. Решение оптимизационной производственной задачи играет важную роль в развитии производства в целом и обосновании эффективности производственных процессов [2].

В управлении производством методы оптимизации влияют на нахождение наилучших хозяйственных решений, которые могут обеспечивать максимальное значение целевой функции и минимальное значение затрат. Необходимость поиска подобного рода решений объясняется наличием различных ограничений на факторы производства, позволяющие предприятиям полноценно и бесперебойно функционировать. Отсутствие подобных ограничений привело бы к недостаточному количеству вариантов решений [1].

Качество решения большинства экономических задач зависит от наиболее эффективного способа использования ресурсов (сырья, денег, оборудования). Именно эффективностью использования ограниченных ресурсов определяется конечный результат деятельности предприятия [4].

Экономическая суть методов оптимизации заключается в том, что, выбирается такой способ распределения ресурсов предприятия, при котором обеспечивается максимум (или минимум) интересующего ЛПР показателя.

Задачи нахождения значений параметров, обеспечивающих экстремум функции при наличии ограничений, наложенных на аргументы , носят общее название – задач математического программирования [5].

Среди задач математического программирования самыми простыми и наиболее хорошо изученными являются так называемые задачи линейной оптимизации. Для них характерно то, что целевая функция линейно зависит от , а также то, что ограничения, накладываемые на независимые переменные, имеют вид линейных равенств или неравенств относительно этих переменных [7].

Такие задачи часто встречаются на практике при решении проблем, связанных с распределением ресурсов, планированием производства, организацией работы транспорта. Во многих случаях расходы и доходы линейно зависят от количества закупленных или утилизированных средств.

Как уже отмечалось, оптимизация, включающая теорию и методы решения задач, в которых критерий оптимальности (целевая функция) линейно зависит от параметров задачи, является наиболее разработанным разделом информационных технологий оптимальных решений. Линейные модели широко используются в теории и практике принятия управленческих решений.

Общая задача линейной оптимизации заключается в нахождении максимума (минимума) линейной целевой функции. Функция f(x) называется целевой функцией, критерием оптимальности или линейной формой.

Вектор значений неизвестных , удовлетворяющих условию задачи, называется допустимым решением или допустимым планом задачи линейной оптимизации. Совокупность всех допустимых планов называется множеством допустимых планов. Допустимое решение называется оптимальным, если оно обеспечивает максимальное (или, в зависимости от условий задачи, – минимальное) значение целевой функции.

Решение задач линейной оптимизации может быть получено без особых затруднений. Классическим методом решения задач данного типа является симплекс-метод. В случае лишь двух переменных успешно может использоваться также графический метод решения, обладающий преимуществом наглядности [6].

Рассмотрим пример решения задачи на нахождение оптимальных значений функции.

Для производства однородной продукции используется три вида сырья – сталь, железо, медь и две технологии – выплавка и ковка. Производительность первой технологии (выплавки) составляет 20 ед. продукции в час, производительность второй технологии (ковки) составляет 30 ед. продукции в час. Необходимое количество сырья (в кг) каждого вида, которое расходуется за 1 час при использовании первой и второй технологий и общие запасы сырья – стали, меди и железа имеющиеся на складе, приведены в таблице.

Определить план производства с использованием первой и второй технологий, при которых выпуск будет максимальным.

Пусть x1 и x2 – время использования первой и второй технологий соответственно. Тогда объем выпуска продукции с учетом производительности технологий равен:

Учитывая ограничения на запасы сырья, получаем следующие неравенства:

В результате имеем задачу:

Построим область допустимых решений (рисунок).

Так как, данная задача является задачей на максимум, то прямую нужно перемещать в направлении вектора . В результате опорная прямая проходит через точку А и координаты этой точки можно получить, как точку пересечения прямых линий на плоскости [3]:

Получаем

Значение целевой функции в оптимальной точке

В результате расчетов можно сделать вывод о том, что максимальный объем продукции будет получен в результате использовании первой технологии в течении 2 часов и второй технологии в течение 4 часов их работы.

Таким образом, в результате проведенного исследования можно сделать вывод о том, что применение методов оптимизации приводит к рациональному использованию ресурсов и, следовательно, к более эффективному функционированию предприятия.