Современные материалы, применяемые в авиастроении, строительстве, машиностроении с точки зрения теории упругости характеризуются как анизотропные, то есть материалы, у которых наблюдается различие в упругих свойствах для разных направлений. Если различия в упругих свойствах материала невелики, то такие среды называются слабо анизотропными, т.е. мало отличающихся от изотропных. Такая форма анизотропии наводится, например, в результате механической обработки, термообработки и других технологических процессов. С точки зрения математического моделирования, основным методом решения задач теории упругости для тел из таких материалов, является метод малого параметра (метод Пуанкаре). Немаловажную часть этого метода составляет способ введения малых параметров и их количество.

В настоящей работе предлагается приближенный способ решения пространственной статической задачи теории упругости для транверсально-изотропного тела со слабо выраженной анизотропией.

1. Обзор известных работ. Данной проблеме посвятил ряд работ С.Г. Лехницкий [6]. Он рассматривал плоскую ортотропную задачу и предложил метод разложения функции напряжений в ряд по двум параметрам, за которые он принимал малые отклонения от комплексных параметров и равных для изотропной среды.

, ,

, ,

где и – параметры, малые по сравнению с единицей настолько, что пренебрегаются высшие степени и произведения этих величин, начиная от 3-го порядка. Функция напряжений, через которую определяются напряжения, деформации и перемещения имеет вид:

,

где – функции координат x и y.

В работе А.В. Саченкова и В.И. Дарагана [8] рассматривались два способа представления уравнения совместности деформаций для ортотропного материала при совщении осей с главными направлениями упругости.

В первом из них уравнение совместности имело вид:

,

где

, .

Здесь , – модули упругости по главным направлениям x и y; – модуль сдвига; – коэффициент Пуассона (обозначение технических констант в [8] отличается от выше приведенного).

Далее вводится новая переменная:

, где .

Уравнение (1.1) принимает вид:

, (1.1)

где

, .

И решение уравнения (1.1) ищется в виде:

.

Во втором способе, уравнение (1.1) преобразуется с помощью переменных , и приводится к уравнению:

,

решение которого:

.

Причем следует отметить, что в первом, что и во втором способах, чем меньше параметры и , тем сходимость наблюдается быстрее.

2. Постановка задачи и теоретическое обоснование. Рассматривается упругое равновесие однородного анизотропной тела под действием внешних поверхностных усилий , и . Материал тела слабо анизотропен и трансверсально-изотропен. Через все точки тела проходят параллельные плоскости упругой симметрии, в которых все направления являются упруго-эквивалентными (плоскости изотропии).

Для решения задачи применяется метод малого параметра [9], основанный на представлении искомых функции в виде ряда, расположенного по степеням некоторых малых параметров, что позволяет свести решение задачи для анизотропной среды к решению ряда плоских задач для изотропной среды.

Придадим обобщенному закону Гука для транстропной среды [6] следующий вид:

(2.1)

где А, B, С, D, E, F – константы, зависящие от упругих свойств трансверсально-изотропного материала.

; ; ; ; ; (2.2)

,

где , , , , – малые параметры, характеризующие отклонение слабо анизотропной среды от некоторой изотропной среды.

Таким образом, вариации подлежат пять малых параметров , , , , , которые соответствуют пяти независимым константам упругости для транстропной среды.

Окончательно закон Гука (2.1) для слабо анизотропной среды можно рассматривать с учетом (2.2) как «возмущение» изотропной среды.

; ;

; ; (2.3)

; .

; .

При линейная изотропия.

Для кратности здесь и далее обозначим:

1) ;

2) в записи верхний составной индекс идентифицирует элемент в асимптотическом разложении

,

а не степень.

Асимптотические ряды:

;

; (2.4)

.

Такое представление унифицирует все индексы в , поэтому все слагаемые можно определить внутри единой суммы и, далее, каждую скобку внутри приравнять нулю (декомпозиция).

Декомпозиция определяющих соотношений:

1. Закон Гука:

;

;

;

;

;

.

2. Соотношения Коши:

. (2.5)

3. Уравнения равновесия:

, (2.6)

где – массовые силы.

Необходимо организовать перебор так, чтобы кроме полей характеристик на определенной позиции, в уравнениях участвовали поля, ранее уже полученные.

Нахождение частного решения от произвольно заданных массовых сил представляет некоторую трудность, однако в случае многочленов принципиальных трудностей нет.

На каждом шаге решается традиционная задача теории упругости для изотропного тела, причем всегда при одном и том же наборе параметров упругости .

В работах [2] и [3], рассмотрены задачи для призматического в плане тела с неоднородными нагрузками, приложенными к торцам тела. В работе [5] реализована методика построения параметрического решения для круговой пластинки; выписано явное решение для конкретной краевой задачи.

3. Решение задачи. Рассматривается первая основная задача для стержня прямоугольной формы из меди [1] МПа; МПа, МПа; , . На боковой поверхности заданы усилия:

Постоянные, характеризующие изотропную среду: , , , , .

Малые параметры, «отклоняющие» слабо анизотропную среду от изотропной: , , , , .

Массовые силы отсутствуют, . Геометрическая и физическая стороны задачи рассматриваются в обезразмеренном виде с размерным коэффициентом Па.

Решение задачи в целом, проводится методом малого параметра по методике, описанной выше, а изотропная задача теории упругости на каждом приближении решается методом граничных состояний (МГС) [7].

Полученные результаты решения во втором приближении слишком громостки, поэтому приведем лишь структуру компонент вектора перемещения (высшие степени и произведения малых параметров отброшены):

;

;

.

Таким образом, механические характеристики есть функции координат и малых параметров. Изменяя последние в определенных пределах, мы имеем возможность получать механические поля для различного (близкого по свойствам к меди) материала, не проводя каждый раз заново решение анизотропной задачи, что порой при сложных граничных условиях и геометрии тела, составляет непростую задачу [4].