В машиностроении расчету на прочность и жесткость пластин предшествует определение напряженно-деформированного состояния при соответсвующих граничных условиях. Расчету предшествует математическая модель, основанная на гипотезах и методах теории упругости.

Постановка задачи с точки зрения теории упругости. Рассматривается упругое равновесие однородной анизотропной пластинки под действием внешних поверхностных усилий , и . Материал пластинки слабо анизотропен и ортотропен. Через все точки тела проходят три взаимоперпендикулярные плоскости упругой симметрии, относительно которых наблюдается симметрия в упругих свойствах (плоскости ортотропии). Геометрические оси совпадают с осями анизотропии.

Обобщенный закон Гука для ортотропной среды в случае обобщенного плоского напряженного состояния имеет вид [6]:

(1)

где и модули упругости в направлении оси x и y соответственно, и – коэффициенты Пуассона ( – коэффициент, характеризующий сокращение в направлении х при растяжении в направлении y, – коэффициент, характеризующий сокращение в направлении y при растяжении в направлении x), причем , – модуль сдвига в плоскости xy.

Для решения задачи применяется метод малого параметра [9], основанный на представлении искомых функции в виде ряда, расположенного по степеням некоторых малых параметров, что позволяет свести задачу для анизотропной среды к плоской задачи для изотропной среды.

Закон Гука для случая изотропной среды может быть представлен в виде [7]:

(2)

где – объемная деформация, и – параметры Ламе, причем – модуль сдвига в изотропной среде.

Придадим соотношениям (1) для ортотропной среды вид зависимостей (2) для изотропной среды. После преобразований получим:

(3)

; ; ; ,

где , , и – параметры, зависящие от упругих свойств материала.

Для построения решения необходимо определить параметры изотропной среды основываясь на известных параметрах ортотропной среды.

Модуль упругости примем как среднее значение: .

Коэффициент Пуассона примем равным таковому в анизотропной среде .

Модуль сдвига определится зависимостью [6] .

Параметр Ламе вычисляем сначала для случая плоской деформации [7] , затем для случая обобщенного плоского напряженного состояния [6] .

Введем малые параметры :

; ; ; . (4)

Можно убедиться, что при любых значениях технических постоянных, параметры и равны, поэтому примем и варьировать будем три параметра.

Окончательно закон Гука (3) для слабо анизотропной среды можно рассматривать с учетом (4) как «возмущение» изотропной среды.

;

; (5)

.

; .

При линейная изотропия.

Для кратности здесь и далее обозначим:

1) ;

2) в записи верхний составной индекс идентифицирует элемент в асимптотическом разложении

,

а не степень.

Асимптотические ряды:

;

; (6)

;

.

Такое представление унифицирует все индексы в , поэтому все слагаемые можно определить внутри единой суммы и, далее, каждую скобку внутри приравнять нулю (декомпозиция).

Декомпозиция определяющих соотношений:

1. Закон Гука:

;

; (7)

.

2. Соотношения Коши:

. (8)

3. Уравнения равновесия:

, (9)

где – массовые силы.

Нахождение частного решения от произвольно заданных массовых сил представляет некоторую трудность, однако в случае многочленов принципиальных трудностей нет.

Система уравнений (7), (8) и (9) по форме отвечает всем соотношения изотропной теории упругости. На каждом шаге решается традиционная задача теории упругости для изотропного тела, причем всегда при одном и том же наборе параметров упругости .

Таким образом, для решения слабо анизотропной задачи во втором приближении необходимо решить 8 задач о распределении напряжений в изотропной пластинке той же формы.

Заданные граничные условия (включая массовые силы) сразу учитываются в нулевом приближении; затем поправки в граничных условиях от вычитаются из «нулевых» граничных условий. Необходимо вносить поправки в механические поля и от «фиктивных» массовых сил . Например, граничные условия на позиции , а на позиции .

Полученные поля напряжений , деформаций и перемещений суммируются согласно (7).

В работе [4] рассматривалось равновесие круговой пластинки под действием усилий распределенных по боковой поверхности вызывающие однородное напряженное состояние. В работе [5] исследовалось равновесие призматического тела под действием усилий распределенных по торцам.

Решение задачи. Рассматривается прямоугольная пластинка (рис. 1) из поликристаллического алюминия [1] МПа; МПа; МПа; .

Рис. 1. Ортотропная плпстинка

Граничные условия:

;

;

;

.

Массовые силы отсутствуют, . Геометрическая и физическая стороны задачи рассматриваются в обезразмеренном виде с размерным коэффициентом Па.

Решение задачи в целом, проводится с помощью метода малого параметра по методике, описанной выше, а изотропная задача теории упругости для пластинки на каждом приближении решается методом граничных состояний (МГС) [8].

Параметры изотропной среды:

, , , .

Согласно (3), (4) и (5) малые параметры:

, , .

Полученные в результате решения во втором приближении компоненты вектора перемещения слишком громоздки для полной обозримости, поэтому представим лишь их структуру (высшие степени и произведения малых параметров, начиная с 3-го порядка, отброшены):

;

.

Для получения окончательных выражений, содержащих технические константы необходимо из (5) выразить малые параметры, подставить их в полученные выражения и провести обратную параметризацию.

Таким образом, мы получили механические характеристики как функции координат и малых параметров. Изменяя последние в определенных пределах, мы имеем возможность получать механические поля, не проводя каждый раз заново решение анизотропной задачи, что порой при сложных граничных условиях и геометрии тела, составляет непростую задачу, особенно если они имеют технологические отверстия [2], [3].