В настоящее время большое количество литературы посвящено решению первой и второй краевой задачи для уравнения Лапласа [8-10]. Такие задачи называют задачами Дирихле и Неймана, соответственно. В то же время, смешанным граничным условиям посвящено довольно небольшое количество исследований.

1. Постановка задачи

Пусть в плоскости задана прямоугольная область

.

Требуется найти функцию , удовлетворяющую внутри области уравнению Лапласа

(1)

а на границе условиям

, ,(2)

, , (3)

где , и , - непрерывные функции по и соответственно.

2. Метод конечных разностей

Для численного решения задачи (1)-(3) будем использовать метод конечных разностей или метод «сеток» [1].

Покроем область сеткой (рисунок 1). Частные производные из уравнения (1) аппроксимируем центрированными разностными формулам [3]. Получим

(4)

Здесь , , – число узлов по – число узлов по .

Рисунок 1 – Сетка для области

Для граничных условий (2) и (3) используем аппроксимацию [4] с разностью вперед, получим:

, , , , (5)Равенства (4) и (5) образуют систему алгебраических уравнений, относительно переменных (), которая может быть решена точным или приближенными методами[4].3. Итерационный метод решения систем конечно-разностных уравнений

Решение системы уравнений (4)-(5) методом Гаусса удобно лишь при небольшом количестве узлов. В случае более мелкого разбиения данный метод оказывается вычислительно неэффективным, поэтому используют специальные итерационные методы.

Для систем конечно-разностных уравнений, аппроксимирующих уравнение Лапласа, в качестве такого метода может быть использован процесс усреднения Либмана [5].Выразим из уравнения (4) : (6)

Зададим во внутренних точках сетки начальное приближение . Последующие приближения будем вычислять по формулам:, (7)Для границы области достаточно задать начальное значение только в точке . В остальных граничных точках значения сеточной функции вычисляются по формулам:Доказано [6], что данный метод сходится, не зависимо от выбора начального приближения, т.е. существует пределДля ускорения процесса сходимости используют следующие приемы [7]:1) чтобы получить начальное приближенное решение задачи, считают, что функция по горизонтали (вертикали) внутри области распределена равномерно;2) при вычислении последующих приближений используют не только значения в узловых точках, полученных на предыдущем шаге, но и вновь найденные значения (метод Зейделя), т.е. используя формулу:Процесс последовательного приближения решения обычно продолжают до тех пор, пока во всех узлах сетки выполняется условиегде – заданная погрешность вычисления.Т.е. до тех пор, пока в двух последовательных приближениях не совпадет требуемое количество десятичных знаков.4. Численный эксперимент

Были проведены численные эксперименты для решения конкретной задачи:, ,, .

Процесс вычисления состоял из нескольких этапов:1) вычисление начального приближения на границе области ;2) вычисление начального приближения внутри области (чтобы получить начальное приближение внутри области , будем считать, что функция распределена равномерно по вертикалям);3) составление системы алгебраических уравнений по формулам (7)-(11);4) решение системы уравнений итерационным методом Зейделя с точностью .В таблицах 1-3 приведены некоторые приближения задачи для пятиточечной сетки.Таблица 1. Первое приближение для пятиточечной сетки

Таблица 2. Шестое приближение для пятиточечной сетки

Таблица 3. Тринадцатое приближение для пятиточечной сетки

Таким образом, за 13 итераций удалось достичь заданной точности. Время выполнения программы менее 1с.На рисунках 10–11 представлены начальное и конечное приближения для сетки размером 11х15.

Рисунок 2 – Визуализация начального приближения

Рисунок 3 – Визуализация конечного приближения

Результатом исследований стала аппроксимация уравнения Лапласа и смешанных граничных условий в случае неравномерной сетки, построение и реализация алгоритма численного решения смешанной краевой задачи, порожденной дифференциальным уравнением Лапласа.Проведенные численные эксперименты показали хорошую сходимость и высокую вычислительную эффективность алгоритма численного решения смешанной краевой задачи для уравнения Лапласа.