При проектировании САУ довольно часто решается задача определения оптимальных параметров системы.Эти задачи можно решать на основе единственного подхода, основанного на поисковой процедуре, организованной по определенному алгоритму, входящему в состав методов нелинейного программирования.

В зависимости о числа поисковых переменных различают одномерный и многомерный поиски. В качестве самостоятельной процедуры одномерный поиск применяют сравнительно редко, однако его часто используют как важный элемент многомерного поиска.

Из существующих методов одномерного поиска наиболее распространенные два метода:

1. метод дихотомии;

2. метод золотого сечения.

По указанным методам будут приведен алгоритмреализации и блок-схема, наглядно показывающаяпорядок и логику работы метода дихотомии. Также представлен пример решения уравнения при помощи метода дихотомии.

Метод дихотомии систем основан на поиске находящегося в интервале неопределённости, экстремума функции, одной переменной путем деления пополам интервала, на котором находится экстремум[1].

Алгоритм поиска экстремума методом дихотомии состоит из двух групп блоков:

1. Поиск интервала неопределенности;

2. Поиск экстремума на интервале неопределенности с установленной точностью.

На первой этапе вычисляется x0=(a+b)/2.

Далее определяется значение функции в этой точке:

1. если f(x0)< 0, то [a,x0];

2. если наоборот, то [x0,b].

То есть происходит сужение интервала. Таким образом, в результате формируется последовательность xi, где i - номер иттерации.

Вычисления прекращаются, когда разность b-a меньше требуемой погрешности.

В качестве примера использования метода половинного деления найдем корень на интервале [0;1] уравнения x3-3*x+1=0 с точностью в 10-3.

Таблица 1-Поиск корней уравнения

Как видно из таблицы корнем является 1,5322. Количество итераций равно 10.

Интервал неопределённости выбирается таким образом, чтобы гарантированно включать в себя точку экстремума [5].

На рисунке 2 представлена блок-схема алгоритма поиска экстремума на интервале неопределенности с установленной точностью по методу дихотомии[3,4].

a,b – точки, между которых заключен интервал неточности, содержащий экстремум функции.

e – установленная точность нахождения экстремума, при достижении которой поиск прекращается.

f() – функция, для которой находится значение экстремума.

Рисунок 2 - Блок-схема алгоритма поиска экстремума по методу дихотомии

Исходя из анализа, можно сделать вывод, что метод половинного деления, не смотря на свою простоту, требует отделения корня, и для достижения высокой точности приходится вычислять функцию много раз. Однако, достижение заданной точности в этом методе гарантировано, и такой подход обеспечивает гарантированную сходимость метода независимо от сложности функции.

В методе золотого сечения каждая из точек x1 и x2 делит исходный интервал на две части так, что отношение целого к большей части равно отношении большей части к меньшей, т.е. равно так называемому "золотому отношению"[6].

Это соответствует геометрическому представлению на рисунке 9.

Рисунок 9 - Геометрическое представление золотого сечения

Таким образом, длина интервала неопределенности на каждом шаге сжимается с коэффициентом 0,618. На первом шаге необходимы два вычисления функции, на каждом последующем – одно[7].

Алгоритм метода золотого сечения для минимизации функции f(x) складывается из следующих этапов:

1. Вычисляется значение функции f(x1), где x1=a+0,382(b-a).

2. Вычисляется значение функции f(x2), где x2=b+0,382(b-a).

3. Определяется новый интервал (a,x2) или (x1,b), в котором локализован минимум.

4. Внутри полученного интервала находится новая точка, отстоящая от его конца на расстоянии, составляющем 0,382 от его длины. В этой точке рассчитывается значение f(x). Затем вычисления повторяются, пока величина интервала неопределенности станет меньше или равна e.

Рисунок 10 - Блок-схема алгоритма поиска экстремума по методу золотого сечения.

На рисунке 10 представлена блок-схема алгоритма поиска экстремума на интервале неопределенности с установленной точностью по методу золотого сечения.

При сравнении описанных в данной статье методов можно отметить, что каждый из рассмотренных методов имеет свои достоинства и недостатки. Метод дихотомии наиболее прост и понятен для реализации, при этом этот метод требует наибольшее количество итераций для получения результата. Метод золотого сечения в свою очередь является наиболее быстродействующим методом и требует наименьшее число итераций для поиска экстремума функции, но в свою очередь требует больших операционных затрат на каждой итерации.

Исходя из выше описанного, можно сделать вывод, что каждый метод имеет свои преимущества и недостатки и может найти применение в различных ситуациях.