Математические методы являются важнейшим инструментом анализа экономических явлений и процессов. Они позволяют создавать теоретические модели, а так же отображать существующие в экономической жизни связи, прогнозировать поведение экономических субъектов и экономическую динамику. Математическое моделирование становится языком современной экономической теории, одинаково понятным для учёных всех стран мира.
Рассмотрим типичные задачи с использованием математических методов [1-3]. Предприятие выпускает четыре вида изделий с использованием четырех видов сырья. Нормы расхода сырья даны как элементы матрицы А: 1 2 3 4. Вид сырья
Требуется найти затраты сырья каждого вида при заданном плане выпуска каждого вида изделия: соответственно, 60, 50, 35 и 40 ед. Составим вектор-план выпуска продукции: =(60, 50, 35, 40).
Тогда решение задачи дается вектором затрат, координаты которого и являются величинами затрат сырья по каждому его виду: этот вектор затрат вычисляется как произведение вектора на матрицу А:
Рассмотрим типичные задачи, возникающие в ходе хозяйственной деятельности предприятий. Спрогнозируем величину выпуска продукции, исходя из сведений известных о запасах сырья. Фирма выпускает 3 вида продукции. При этом используется 3 типа сырья. Таблица отражает основные параметры технологии производства. Определим объемы продукции, которые возможно выпустить при заложенных данных о запасах сырья. Такого рода вопросы неизбежно возникают при деятельности любого предприятия.
|
Вид сырья |
Расход сырья по видам продукции, вес.ед./изд. |
Запас сырья, вес.ед. |
||
|
1 |
2 |
3 |
||
|
1 2 3 |
6 4 5 |
4 3 2 |
5 1 3 |
2400 1450 1550 |
Полученные в ходе решения ответы на поставленные вопросы дадут возможность для прогнозных оценок и заключений, а также для создания планов по микроэкономическим показателям предприятий.
Обозначим неизвестные объемы выпускаемой предприятием продукции через неизвестные величины x1, x2 и x3. Тогда при условии полного расхода запасов для каждого вида сырья можно записать уравнения, отражающие баланс продукции и сырья из которого она сделана. Получаем систему 3 уравнений с 3 неизвестными:
Решение систему уравнений приводит к следующим результатам (с учетом заданных значений о сырье):
Рассмотрим наиболее общую постановку задачи прогнозирования объемов продукции. Пусть
- матрица, отражающая расход сырья Т видов при выпуске продукции. Тогда при известных объемах запаса каждого вида сырья, которые образуют соответствующий вектор
Вектор 
= (х1, х2, ... , xn) характеризует объем выпуска продукции и определяется из решения системы Т уравнений с n неизвестными
Здесь индекс Т означает транспонирование вектора-строки в вектор-столбец.
Рассмотрим задачи использование линейной модели торговли. Процесс взаимных закупок товаров анализируется с использованием понятий собственного числа и собственного вектора матрицы. Будем полагать, что бюджеты n стран, которые мы обозначим, соответственно, х1, х2, …, хn, расходуются на покупку товаров. Рассмотрим линейную модель обмена продукцией.
Пусть аij – доля бюджета хj, которую j-я страна тратит на закупку товаров у i-й страны. Введем матрицу коэффициентов аij:
Тогда, если весь объем средств расходуется только на закупку сырья извне (это можно рассматривать как торговый бюджет). Тогда справедливо равенство
Матрица А с данным свойством, в силу которого сумма элементов ее любого столбца равна единице, называется структурной матрицей торговли. Для i-й страны общая выручка от внутренней и внешней торговли выражается формулой
Условие сбалансированной торговли формулируется естественным образом: для каждой страны ее бюджет должен быть не больше выручки от торговли, т.е. 
, или
Докажем, что в условиях не может быть знака неравенства. Действительно, сложим все эти неравенства при i от 1 до n. Группируя слагаемые с величинами бюджетов xn, получаем
Как можно заметить, в скобках стоят суммы элементов матрицы А по ее столбцам, которые равны единице по условию. Таким образом, мы получим неравенство
откуда следует, что возможен только знак равенства.
Условия принимают вид равенств:
Введем вектор бюджетов 
, каждая компонента которого характеризует бюджет соответствующей страны. Тогда систему уравнений можно записать в матричной форме: Ax=x
Это уравнение означает, что собственный вектор структурной матрицы А, отвечающий ее собственному значению 1, состоит из бюджетов стран бездефицитной международной торговли. Перепишем уравнение в виде, позволяющем определить: x: (A-E)x=0
Таким образом, применение методов оптимального решения в деятельности предприятий приводит к экономии материальных средств, экономии времени и улучшению производительности. Кроме того, данные методы могут быть полезны и в задачах экспериментального исследования различного рода процессов [4-15].